今天大小吴来和大家探讨一个问题：为什么1既不是素数也不是合数？
1 因数的个数
也就是说，如果我们以因数个数为标准对正整数进行分类，可以得到如下表格：
2 素因数分解的唯一性
实际上，1既不是素数也不是合数这件事需要用到“素因数分解的唯一性”来说明，也即算术基本定理：
任何一个大于1的自然数 ，如果不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，即
存在性和唯一性都是显然易见的，因为我们不可能把18分解成或是等其他的形式。
3 算术基本定理的证明
然而在数学上，对于一个定理我们不能以“显然成立”这样的话就把对定理的证明搪塞过去了，对于这件事我们一定要严格证明一遍。首先，在证明算术基本定理之前，我们需要用到两个引理：
引理1：当和互素时，如果能被整除，那么也能被整除.
证明如下：因为和互素，所以，又因为能被整除，所以为与某个整数的乘积：
由可知。
将代入，可得：
即
因为必然为整数，所以能被整除。
引理2：如果和无法被素数整除，那么其乘积也无法被整除.
因此，当都不能被整除时，其乘积也无法被整除。
换句话说，当能被整除时，那么或或或能被整除。（逆否命题）
这样，我们就为证明“分解素因数的方法只有一种”做好了准备工作。
接着，仍然用反证法，假设合数有两种分解方法：
消去相同的部分，可得
假设左边的素数和右边的素数各不相同（倘若有相同的素因数，则在上一步时已经消去了），那么根据引理2，因为能被整除，所以中的某个素数必然能被整除。也就是说必然存在，使得
这与假设是矛盾的，故上述等式不成立。我们逐一约去等式两边相同的素数，最终可以得到：
也就是说，等式两边的素数从一开始就是完全相同的。
这样，我们就证明了算术基本定理。
4 为什么1既不是素数也不是合数
我们来考虑如果把1也纳入到素数中会出现什么情况，以6为例：
这样就使得合数分解素因数的唯一性不成立了，违背了算术基本定理。
因此，1不属于素数，1也显然不是合数，所以1是唯一一个既不是素数也不是合数的正整数。
