§1.1 历史背景
自古至今，伊拉克注定都是一个令人瞩目的地方。发源于土耳其东南部托罗斯(Taurus)山脉南麓的幼发拉底河(Euphrates)和底格里斯河(Tigris)，从安纳托利亚(Anatolia)高原奔流而出，在阿拉伯高原上的大漠之中日夜兼程，流向宽广静谧的波斯湾。
幼发拉底河和底格里斯河之间那一片广袤的冲积平原，通常称之为美索不达米亚(Mesopotamia)，《旧约》的希腊翻译家们把它看做是古代城市哈兰附近的亚伯拉罕的故乡，意思即是“河流之间的土地”。早期的时候，美索不达米亚只是指两河流域的北部，而南方叫做“巴比伦尼亚(Babylonia)”。美索不达米亚明显的分为南北两个部分，从幼发拉底河畔的希特到底格里斯河边的萨马腊一线，是比较天然的地理分界线。这条线的北部，是古代亚述帝国的所在地，而南部肥沃的冲积平原就是闻名遐迩的巴比伦(Babylon)和苏美尔(Sumer)的故乡。
远古时代，美索不达米亚周边都是荒蛮的游牧民族，北方安纳托利亚半岛的印欧人和南方的闪米特人，经常攻击和掠夺富庶的美索不达米亚地区，并且先后建立了许多庞大的帝国。“美索不达米亚的历史，如何开根号求过程图解，在很大程度上也就是一部印欧人入侵者与闪米特人入侵者为争夺这块肥沃的两河流域地区而展开的长达数千年的斗争史。”这种连续入侵的模式一直持续到第一次世界大战后奥斯曼帝国解体为止，而中东地区动荡不安的局势和频繁爆发的战争，也可以认为是那种古代模式的余韵。
从十八世纪开始，西方的旅行者和探险家们根据古籍的记载，开始在全世界范围内寻找文明古国的地下遗迹。最著名的例子就是德国考古学家亨利希﹒谢里曼发现特洛伊古城遗址的事件。正是在谢里曼以及其他后继者一个多世纪的田野考古发掘，我们对古代世界的历史才有了更加详尽的知识。
迄今为止，人们所能找到的最古老的文明，就是位于今天伊拉克境内的“苏美尔文明”。法国外交官欧内斯特﹒德﹒萨尔泽克是第一位发现苏美尔文物的探险者。
苏美尔人自称“黑头人”，他们是和闪族与印欧人不同种族的土著居民，大约公元前4000年左右就开始在两河流域地区定居。他们的首都是乌尔，他们所控制的地区就称为苏美尔。闪族的阿卡德人建立的城邦是巴比伦。巴比伦远在古代就闻名遐迩，而苏美尔文明则鲜为人知。虽然迄今为止人们都把苏美尔文明和巴比伦文明混为一谈，但实际上，这是两种不同的文化。首先，他们是不同的种族，语言也不相同，苏美尔人使用的是苏美尔语，巴比伦人使用的是阿卡德语。其次，从时间上来说，苏美尔文明要早于巴比伦文明。从公元前3000年到公元前330年，这一地区的统治者变动频繁，苏美尔文明也最终消失在历史的长河之中。但是，苏美尔人创造的数学知识和传统，却始终连绵不绝，并且通过希腊人对数学的发展做出了贡献。
从古巴比伦帝国兴起，到公元前539年波斯人征服这里，包括苏美尔文明在内的古美素不达米业文明，被统称为古巴比伦文明。我们在这里所讲的巴比伦数学，包含了苏美尔数学在内，他们是一脉相承的同一种文化系统。巴比伦数学是数学史上起源最早，流传更久；相较于古埃及数学，他们取得的成就更高一些。
§1.2 陶筹与泥板文书
苏美尔文明之所以能够重见天日，和他们使用的书写材料有着重要关系。他们没有使用埃及人那种不易保存而又奢侈的莎草纸，而是使用当地充裕的泥土制作的泥板，用芦苇制成的尖笔在尚未干燥的湿泥板上刻画印痕来书写文字和数字。书写好的泥板在干燥之后比较坚硬，比起莎草纸更容易保存，所以至今已有几十万块泥板在巴比伦的故地被发掘出来。
苏美尔人最早使用装有陶筹的圆形或椭圆形空心封球来记数记事。大约在新石器时代早期，即公元前8000年左右，人们就开始使用陶筹记数。公元前四千年代末，人们开始把陶筹包裹在空心的封球里保存，在封球变干变硬之前，在封球上印上印文，以示所有。陶筹有各种各样的形状，它们也被用在早期的算盘上作为计算的工具：小泥锥代表1，泥球代表10，大泥锥代表60，各种陶筹放置在计数板的凹槽里，就可以成为一个算盘。现存最早的算盘就是古巴比伦时代的，是一块石板上放着白色的大理石算珠，大约是公元前300年的产物。
随着文字的进步和发展，刻写的符号代替了筹码，泥板成为书写记事的主要工具。当然，陶筹封球作为一种民间的工具，几乎和泥板同时共存着。从出土文物的情形来看，出现泥板的地方，总是能够找到陶筹封球。犹如在计算机如此普及的今天，我们还是能够看到算盘的踪影。
约公元前24世纪的楔形文字
§1.3 巴比伦的记数系统
平直刻画。这两种刻痕结合使用，一直到数字59。而到60时，1的符号再次使用，就像我们在表示10这个数字时使用1那样；类似的，可以表示60 × 60，60 × 60 × 60，如此等等。表示0的符号还没有出现，他们有时候用空位来表示，但有时候也不留空位，所以
表1-1 巴比伦数字
当某些数值里有零的时候，就有必要根据上下文来判断。这个缺陷并不影响巴比伦人使用这种记数系统进行精确的算术计算。
当我们把巴比伦的数字符号改写成用阿拉伯数字表示的形式时，采用每一位用逗号分隔的形式，比如：4，30是一个数字，其第一位是4，第二位是30；而1，25，30是另一个数字。巴比伦人把75表示成“1，15”，这和我们把75分钟写成1小时15分钟是一样的，说明在60进制的记数法中，意味着数字每向左移动一位，其值就要扩大60倍；而向右移动一位，其值就要除以60来表示某个分数。因此，我们把1，25，30换算成十进制的数时，其结果如下：
1·60·60＋25·60＋30＝3600＋1500＋30＝5130。
六十进制带给我们的一个文化遗产就是三角学中圆周分为360度，1度分为60分，1分分为60秒。类似的，1小时分为60分钟，1分钟分为60秒，都反映了巴比伦的记数法。当我们写下120°35′40″时，我们实际上在使用巴比伦的记数法。而当我们说现在是晚上8点40分15秒时，我们实际上讲的是4000多年前巴比伦人的语言，当然，他们有时会更简洁地说午后已过8；40，15小时了。
有一种说法认为，巴比伦最早采用的是12进制和10进制，采用12进制的目的是为了使分数便于计算；后来，为了把这两种进位制结合起来，所以产生了60进制。
事实上，在乌鲁克出土的早期原始楔文文献里，现代学者发现了数十种不同的计算体系，有六十进位制的“S体系”、混合进位制的“B体系”、“Š体系”、“G体系”以及“E体系”，此外，还有专门用来记载时间的“U体系”和记载容量的“DUG体系”。苏美尔人最常用的是六十进位制的“S体系”，但这个“S体系”也不是纯粹的六十进制，而是包含了十进制和六进制的混合计算体系。这也是一种正常现象。对于不同的计算对象，采用不同的进位制，不过是为了计算的方便。即便是今天，我们的日常生活中，虽然是十进制为主，但十二进制、十六进制、六十进制任然在使用，计算机科学中更是同时使用了二进制、八进制、十进制、十六进制和六十进制。
理论上来说，我们可以采用任何大于1的整数作为基底构成计数系统的进位制。除过历史的原因之外，如今我们采用什么进位制，取决于我们使用的方便和需要。虽然十进制逐渐成为主流的计数制，但其它计数制仍然存在了相当长的时间。直到二十世纪末期，英制的十二进制在工程和机械制造领域还一直在使用。
§1.4 巴比伦的算术
当一套记数系统发明出来后，相应的算术计算规则也会被制定出来。虽然各种文明的计算方式会有所差异，但加减乘除的基本规则却是相同的，因为数学最早是为了解决实际的生活需要而发展起来的。换句话说，数学在其原始时代，也是一门经验科学。直到古希腊文明的时代，他们才开始从理论上探讨数学的原理和规律，从而使数学成为一门纯粹的理论科学。除过古希腊文明之外，在绝大多数可以看到的古代数学文献中，作者会首先描述需要解决的问题，然后用一个算法计算出结果。这个算法可能是显式的，也可能是隐式的。这些文献很少说明这些算法是如何得到的，它们是普遍有效，还是只是这类问题的特殊解法。相反，我们只是看到许多应用这些算法的例子。当然，从数学后来的发展，我们可以看到，这些算法是普遍有效的。也就是说，它们是基本的算术规则的实际应用和符合逻辑的推广，虽然我们看不到它们推广的具体过程。
从表1-1可以看出，在巴比伦的记数制中，表示数字1的记号和表示数字10的记号是基本记号，从1到59这些数都是用几个或更多基本记号结合而成的。因此，这些数的加减法就是加上或是去掉这些记号。
由于巴比伦数系是一个位置记数系统，加、减，包括进位与借位的实际算法，和我们现代的算法基本类似，所以对于更大的一般数的加法，他们采用相同位置上的数字相加，满60向下一列进位为1的方法。例如，将23，37(=1417)和41，32(=2492)相加，首先是把32和37相加得到(1，09)(=69)，这时将09写下，把1进到下一列；同样41+23+1=1，05(=65)，最终得到结果为1，05，09(=3909)。
在巴比伦的原始文本里，数字只是一个个数字串，并且也没有数字零，其具体的数值要依靠上下文来判断。为了清晰起见，现代的研究者一般会对原始文本加以改写，在每一个数字的位置之间加上“逗号”，在整数和分数之间加上“分号”。比如数字串1，25，30可以读成下列三个数字：
加减法的运算比较简单，但是乘除法对于60进制就比较复杂了。所以对于乘法运算，巴比伦人制作了许多的乘法表。这种表有很多种，每一张表上是某一个数字比如说9的倍数，从1×9到20×9，然后再给出30×9，40×9，50×9（见图1-2）。
假如要计算34×9，他们先在乘法表上找到30×9=40，30（=270）和4×9（=36），然后再把这两个数加起来，就可以得到结果5，06（=306）。为了计算更多位数的60进位数的乘法，巴比伦人制作了很多张这样的乘法表。和我们现在的九九乘法表相比，巴比伦的乘法表是很庞大的。
图1-2 一块用于9的乘法表
40的平方根约等于（6.
因此，他们也制作了很多种倒数表。这就说明巴比伦也有了分数的概念。如果用分号来把整数和分数部分分开，六十进制的分数0；7，30就代表1/8。
下面我们给出一张倒数表的一部分：
2 30
3 20
4 15
5 12
40的平方根是±√40，±√40≈±6.
6 10
8 7，30
9 6，40
10 6
12 5
15 4
在这张表中，第二列数是第一列数的倒数，比如30表示30/60=1/2，也就是说，第一列数和第二列数的乘积都等于1。
这样，做除法时，除以第一列的数，就等于乘以第二列的数。
利用数表计算，是巴比伦算术的一大特色。
研究巴比伦泥板的学者们还发现了扩大了的倒数表，这种倒数表包括象7和11这些其倒数不能用六十进制有限小数表示的数，并且把它们的倒数给出了有几位小数的近似值。
还有平方表、立方表和开方用的平方根表，还有用于计算复利的利息表和一些相当复杂的数字程序利息表。
显然，巴比伦人把日常生活中需要计算的东西都制成了各种数表。其实，在计算机普及之前的二十世纪，我们现代人也曾经广泛使用各种数表，比如三角函数表、对数表等等，而这是从古巴比伦开始的。
巴比伦的方根表，当方根是整数时，给出的是精确值，当方根是其它数值的时候，相应的六十进制数值只能是近似值。没有证据表明巴比伦人懂得无理数，他们用比较多的位数来表示无理数。
比如巴比伦人给出的2的平方根的近似值是1.4142128......其六十进制数是1；24，51，10，这一结果的推导过程没有给出，数字见于耶鲁大学巴比伦收藏所的YBC7289号泥板，是一个计算正方形对角线的图形。
这个近似值其精确度已经达到小数点后五位，直到近两千年后，以公元一世纪的希腊数学家希罗命名的方法也给出了完全一样的结果。我们将会看到，毕达哥拉斯学派正是在计算正方形的对角线的时候发现了无理数。
§1.5巴比伦的代数
我们从泥板中的各种数表里可以了解到巴比伦算术的详细细节，他们的数系和计算规则以及一些特殊算法。还有一些文件和我们前面讲的内容不同，它们是处理代数与几何问题的。数学方面的楔形文本通常包括两类文件，一类是各种数表，9的乘法表和倒数表是完整的范例；另一类文件是各种问题的汇集，有些问题只给出最后结果，没有解题的过程，但是也有许多问题给出了解题过程，他们甚至企图说明二次方程的一般解法，他们还用变量置换的方法把更为复杂的代数问题化成较为简单的问题。和所有的古代文明一样，巴比伦的代数问题和解题方法都是用语言描述的，而不是用符号来表示的。
二次方程的求解是巴比伦代数的一个基本问题。比如求出一个数，使它与它的倒数之和等于给定的一个数，用现代的符号来表示，巴比伦人要求出下列方程的解：
整理后就是一个关于x的二次方程，即
他们先作出(b/2)²，再作出
然后得到答案：
这实际上说明巴比伦人是知道二次方程的求根公式的。比如给定两数之和与两数之积而求这两个数，即
由此，就可以立即得出x和y是下面这个方程的解：
关于二次方程的具体解法，有一个大不列颠博物馆馆藏的编号为BM13901的文本，（见《早期数学史选篇》第27页）共有24节内容，其中第六节的内容翻译如下：
我把我的正方形面积加上正方形变长的三分之二得
0；35。取1作“系数”，系数1的三分之二是0；40。
其一半是0；20，将它乘以0；20，（结果是）0；6，40。
把它加到0；35上，（结果是）0；41。40的平方根是
0；50。将0；20自乘，并从0；50中减去，那么0；30
就是正方形的边长。
这一例题陈述并求解了下列二次方程：
2/3是用一个特殊的记号写的。第一步是把2/3化为六十进制的数0；40。如果我们按照文本中陈述的解法一步一步作下去，就会得到如下的表达式：
我们知道，二次方程x²＋px = q正数解是：
从上面两个例子可以看出，巴比伦人对二次方程有着通用的求解方法，其结果和现代的求根公式是一致的。而第二个问题并不是具有实际意义的问题，因为把面积和长度相加，显然没有任何真实的几何意义。
40的算术平方根是要求回答40是由那一个数自乘得出的积.显然2×2=4不是40 6×6=36 7×7=49 显然这算术平方根的值在6和7 之间.
一种可能的解释是，巴比伦人通过图形的几何关系来帮助求解诸如二次方程这样的代数问题。第二个问题的陈述是非常明确的，使我们可以确切地了解一般的解题过程。
40=4×10 40的平方根为： ±2√10≈6.
然而，任何文本都没有指明那些蕴含在解题过程中的规则是如何被发现的。所有的古典文明的数学基本都是这种状态，直到古希腊时代，证明的概念才真正确立起来。
除过二次方程之外，巴比伦人对一些特殊的高次方程也能够解出来。比如像下面这样的方程
可以通过变量置换化简成普通的二次方程来求解。对未知数的表达一般是用文字来叙述的，有时候用来自几何的术语长、宽、面积等来表示未知数。巴比伦人有时也用特殊的记号来表示未知数。 在有些问题里，他们用两个苏美尔文字来表示互为倒数的未知数。因为这两个文字在古苏美尔文里是象形文字，而它们在当时已经不流行，所以加在阿卡德文里就等于用两个特殊的符号来表示未知数，就好像在现代汉语里加入两个甲骨文字符，是很容易分辨的。
巴比伦的代数涉及的范围之广，丝毫不亚于古希腊的数学。他们对于包含两个未知数的方程组，也提供了详细的解题过程。我们从泥板文书VAT8389中找到一个解方程组的例子：
两块田地中，一块每沙尔（sar）出产2/3西拉（sila）
谷物，另一块每沙尔出产1/2西拉谷物。第一块地的产量比
40的开平方等于4的开平方乘以10的开平方 即=2*3.162=6.324。开平方是平方的逆运算，只要我们知道平方的计算方法，开平方就迎刃而解了。我们令十位数值为A，个位数值为B，即为A*10+B，根据二数和的平方有：(Ax10。
第二块地多500西拉。两块地的面积总共是1800沙尔，问
每块地的面积是多大？
用x和y来表示未知面积，则这个问题可以表示为下列方程组：
这个方程组的一个现代的解法是代入法，即从第二个方程里求出x，然后代入第一个方程里。但是巴比伦人的解法却是一种猜测然后加以调整的办法：他们先假设x和y都等于900，然后代入第一个方程计算：
2/3×900－1/2×900=150
所得到的结果和方程要求的500相差350。为了调整得数，他们认为x的值每增加一个单位，则y的值会相应的减少一个单位，从而“函数”(2/3)x - (1/2)y就会增加2/3+1/2=7/6。因此，只需要解方程(7/6)z=350，得到z=300，则x=900+z=1200，y=900-z=600。这个答案是正确的，说明巴比伦人对于方程的线性性质也有所理解。
§1.6 巴比伦的几何
相对于算术和代数，巴比伦的几何是不太重要的，也不是一门独立的学科，他们不像希腊人那样因为理论的兴趣而研究几何，他们总是在解决实际问题时才去研究几何。
在计算面积的问题里，有些三角形是否是直角三角形，四边形是否是正方形等等，这些总不是很明确。巴比伦人有许多公式用来计算各类图形的面积，他们甚至也有计算面积的数表——相当于今天的系数表，是一种反映不同几何图形的某些数学关系的常数表。比如对三角形给出的系数是0；30，就是十进制的1/2，表示三角形的面积是底乘以高的一半，等等。
计算圆的周长和面积，从来都是一个困难的问题，没有任何简便的方法来准确地计算一个给定直径的圆的周长和面积。在许多巴比伦的泥板上，圆的周长是当作直径的三倍来计算的。稍作简单的测量，就可以发现周长比直径的三倍大，但是巴比伦人就是这样用的。很明显这是一个经验的数值，对于实用来讲精度也足够了，也许还因为计算方便，所以流传了很久。
在许多的楔形文件中，更多的问题是求圆的面积。巴比伦人给出了一个计算圆面积的公式;
式中C是周长，d是直径。这个公式将圆面积的计算和周长联系了起来。按今天的圆面积公式来说，巴比伦的这个公式也是正确的，问题的关键是如何来计算周长。
巴比伦的楔形文献中没有给出他们是如何得到这个公式的。一种可能的解释是，把圆切割成许多小扇形，然后把他们重新排列成一个近似的矩形，这样，矩形的长边是周长的一半，短边就等于圆的半径，这样就可以得到上述的计算公式。巴比伦人还有另外一个计算圆面积的公式：
在这个公式里他们用3来代表π，但是，在他们给出正六边形及其外接圆周长之比时，从计算的结果可以知道，他们是用25/8作为π值的。
有一个计算等腰梯形面积的问题，梯形的上下底和斜边都是给定的。他们给出了正确的计算公式，和我们今天公式是一样的。
40介于6平方和7平方之间，且6，7为连续整数，则最接近的两个整数是6，7。事实上若40的平方根小于等于6.5大于6，则必有6，另外一个为7；大于等于6.5小于7，则必有7，另外一个为6。综合起来是大于6小于7时，最接近。
在我们前面提到的YBC7289的泥板上，画着一个对角线连接起来的正方形。在这块泥板上，我们找到了三组数字：
a = 30
b = 1，24，51，10
c = 42，25，35
根据图形，a显然是正方形的边长，假设c是正方形的对角线，根据毕达哥拉斯定理。
则c² = 2a²。
我们将图形中c记为42；25，35，化成十进制数是42.4263888...这是c的值，再除以30，得到1.4142129，这恰好是2的平方根的近似值，而我们如果将b记为1；24，51，10，化成十进制数是1.4142128，由此可知，b就是2的平方根。
这块只有一个图形和三个数字的简单泥板告诉我们，巴比伦人已经了解正方形的对角线与其边长的的关系。结合其他文本，我们知道巴比伦人已经掌握了毕达哥拉斯定理的全部概念。
§1.7 普林斯顿322泥板
我们接下来介绍美国哥伦比亚大学收藏的编号为普林斯顿322的泥版。该泥板上的文本说明巴比伦数学已经达到了比较高深的水平。该文本处理的是我们通常所说的毕达哥拉斯三元数组，即由三个整数组成的数组，例如3，4，5或7，24，25。数组中的三个数代表直角三角形的三条边。因此，数组中三个数满足方程
那么，这种三元数组共有多少？我们如何求出它们？很显然，我们根据数组3，4，5，立即可以得到无穷多组毕达哥拉斯三元数组，即3n，4n，5n，这里n = 2，3，4...。但是，我们只能把它们都看作是用3，4，5表示的一组数，这组数就称为约化三元数组，又称为本原三元数组。所有毕达哥拉斯三元数组都是约化三元数组。
在普林斯顿322泥板上，巴比伦人列举了十五行对应于x²/y²，x，z的数值，其中x，y，z是约化的毕达哥拉斯三元数组。
毕达哥拉斯三元数组是不定方程（1）的正整数解，三世纪的古希腊数学家丢番图才开始研究不定方程的解，后来发展成为数论的一个分支学科。那么，巴比伦人是如何构造出这张表的？他们的目的又是什么？由于普林斯顿322泥板的左半部分毁坏，这两个问题目前已经找不到答案。但是，我们有一个毕达哥拉斯三元数组的定理：
若p和q是整数，当它们满足以下条件时
1） p＞q＞0；
2）p和q 无公约数（除去1）；
3）p 和q不同时为奇数；
则表达式
将生成所有约化毕达哥拉斯三元数组，并且每个三元数组是唯一的。
例如，当p=2，q=1产生x=3，y=4，z=5；p=3，q=2产生x=5，y=12，z=13 。很显然，巴比伦人已经知道了这个定理的某种形式，否则，它们不可能给出泥板上的那些数组，因为它们包含的数如此之大（例如x=12709，y=13500，y=18540）绝不可能是通过试算得到的。要知道巴比伦人对这个问题的更加详细的知识，只能寄希望于发现新的有关三元数组的泥板或其它资料。
《美索不达米亚考古》，【英】塞顿·劳埃德(Seton Lloyd )著，杨建华译，文物出社1990年10月。
《全球通史》【美】斯塔夫里阿诺斯(Stavrianos)著，董书慧等译，北京大学出版社2005年6月。
《苏美尔、埃及、中国古文字比较研究》，拱玉书、颜海英、葛英会著，科学出版社2009年10月版。
《早期数学史选篇》，【美】A.艾鲍著，周明强译，北京大学出版社1990年3月版。
