在数学史上，微积分的创立是继Euclid几何之后的最伟大的创造之一。微积分首先解决了当时17世纪的四类科学问题：1.已知加速度-时间函数，求物体的速度和移动距离；2.求曲线的切线；3.求函数的最值；4.求曲线弧长，曲线围成的面积等。
今天，我们就来学习微积分中的微分与导数。
第1节，讲微分和导数的概念：
设f(x)在邻域U(x0)中有定义，当给一个增量Δx，满足Δx+x0 ∈U(x0)时，可以得到函数的增量Δy=f(Δx+x0)-f(x0)，如果存在与Δx无关的常数A ，使得可以表示为Δy=A*Δx + o(Δx)，那么就说f(x)在点x0可微，A*Δx是函数在x0的微分，记作dy|x=x0 = A*Δx。我们可以看出，微分是一个增量的线性函数，微分dy 与增量Δy 与高阶无穷小o(Δx)存在关系：Δy = dy + o(Δx)。注意这里可微是点态的
可微-连续定理：若f(x)在x0可微，则函数在x0连续。
设f(x)在邻域U(x0)中有定义，若极限 lim [(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx] Δx->0 存在，则称f(x)在点x0可导，该极限值称为函数在x0的 导数，记作f`(x0)。这里的定义也是点态的。
2.求谁的导数为tanx的平方的方法:用不定积分，求出tanx的平方的原函数，此原函数的导数为tanx的平方。3.具体在求谁的导数为tanx的平方的过程中，用到三角公式，见图中注的部分。4.C是任意常数，tanx-x+C的导数为tanx。
可以看出，极限，沟通了可导与可微，lim Δy/Δx Δx->0 = lim {A*Δx + o(Δx))/Δx =A Δx->0
＝－ln｜cosx｜＋c 所以－ln｜cosx｜＋c的导数为tanx。其导数：y＝tanx＝sinx／cosx y＇＝（sinx＇＊cosx－sinx＊cosx＇）／（cosx）＾2 ＝1／（cosx）＾2 tanx ＝sinx／cosx ＝（cosx＋sinx）／cosx ＝secx 。
导数是是通过极限来描述的，极限分左极限和右极限，不难得出，导数分为左导数和右导数，左右导数统称为单侧导数
导数存在定理：导数f`(x0)存在 <==> 该点的左右导数都存在且相等，即 f`-(x0) = f`+(x0)
可微-可导定理：f(x)在x0可微 <==> f(x）在x0可导，且 A=f`(x0)；即是 Δy=f`(x0)Δx + o(Δx)，有限增量公式
(tanx)'= 1/cos²x=sec²x=1+tan²x，求导过程如图所示
导函数，简称导数：若函数f 在区间I每一点都可导，则称f在I上的可导函数。提醒，每一点可导，可以推出每一点连续，可以得出一致连续，即在I上的可导函数，是I上的一致连续函数，注意与之前的知识连续，连续性与导数，微分关系密切。
第2节，讲求导方法和导数公式：
定义法求导：lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x->x0
导数的四则运算，与函数极限的四则运算类似。
加减法定理：若函数u(x)，v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)±v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)±v`(x0)
乘法定理：若函数u(x)，v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)v(x0)+u(x0)v`(x0)
推论：若函数v(x)都在x0可导，C为常数，则函数Cv(x) 在x0 处可导，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)
除法定理：若函数u(x)，v(x)都在x0可导，且v(x0)≠0，则函数f(x)=u(x)/v(x) 在x0 处可导，且
f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2
过程如上图。
反函数求导定理：设y=f(x) 为 x=φ(y)的反函数，若φ(y)在点y0的某邻域内连续，严格单调，且φ`(y0)≠0，则f(x)在x0上可导，且f`(x0)=1/φ`(y0)
复合求导定理：y=f(u)在u0可导，u=g(x)在x0可导，u0=g(x0)，则复合函数fOg在x0处可导，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g'(x0)=f'(g(x0))·g`(x0)，这也称为链式法则。
第3节，讲微分的计算与应用：根据导数法则，dy=f`(x)dx x∈I，不难推出微分运算法则
d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)
d[u(x)·v(x)] =v(x)·du(x)+u(x)·dv(x)
d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)
d[fOg(x)]=f`(u)g'(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，这个称为一阶微分形式不变性，可用于推导积分换元公式。
应用：工程上的近似计算，取x0=0，Δx=x，在x0=0 附近，f(x)≈f(0)+f`(0)x，当|x|充分小，sinx≈x，tanx≈x，ln(1+x)≈x，1/(1+x) ≈ 1-x，e^x ≈ 1+x ；也用在测量误差
第4节，高阶导数与高阶微分，之前讲的微分与导数都是一阶的，这里学习高阶的：
高阶导数公式：y^(n) = [y^(n-1)]`
高阶导数运算法则：
n阶微分：d^ny=f^(n)(x) dx^n，从二阶微分开始，丧失微分形式不变性
第5节，参数方程与导数，偏向于应用
参数方程的定义：通过辅助变量t，来表示x，y的关系
用参数方程表示函数的导数--摆线方程
用极坐标方程表示曲线的切线--对数螺线切线方程
∫tanxdx =∫sinxdx/cosx =-∫d(cosx)/cosx =-ln|cosx|+C 即-ln|cosx|+C的导数为tanx
参数方程表示函数的高阶导数--摆线方程
本章最重要的是导数微分的概念和公式，后面两节偏向于实用方向。
