函数的连续性
由实数的性质我们已经知道其具备有连续性，连续函数的证明方法，即连续地布满整个数轴。在此，我们需进一步将连续性具体落实到函数中去，即讨论函数的连续性问题。
一）函数的点连续定义
如果函数f(x)在区间内各点连续，则称此函数在区间X上（点）连续。注意，这里所谓的区间上（点）连续其实仅是此区间上的各点连续性而已。若区间X含端点，则其端点的连续性将以其左或右连续性来定义。
二）函数的区间连续（一致连续）定义
若函数f(x)在区间X上有定义，且∀ε>0，∃δ，∀x1∈X，∀x2∈X，|x1-x2|<δ(|f(x1)-f(x2)|<ε)，则称函数f(x)在区间X上一致连续。
显然，一致性连续是整个区间内函数的连续特性，而非个别点的连续性。
三）不连续点（间断点）的类型
不连续点虽然其上函数都是非连续的，但其不连续的类型有所不同，简单分类如下：
1）第一类间断点
函数在间断点上的左右极限存在，但此等式lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0+] f(x) = f(x0)不成立。如果成立lim[x→x0-] f(x) = lim[x→x0+] f(x) ≠ f(x)，则此间断点称为可去间断点，即可以通过重新定义x0点上的函数f(x0)使之连续。如果lim[x→x0-] f(x) ≠ lim[x→x0+] f(x)，则此间断点称为跳跃间断点。
连续性是指lim f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=lim△f(x,y)=0 已知可微有lim△f(x,y)=fx△x+fy△y+o(√x²+y²)，所以在△x和△y趋近0时， fx△x为0，fy△y为0，而o(√x²+y²。
2）第二类间断点
四）连续函数的运算及其反函数和复合函数
如果函数是个分段函数,那么先考虑每个分段上的连续性,然后考虑分段点的连续性,采用的方法依据定义来判断!（2）函数的可导性主要是考虑极限lim Δy/Δx=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)是否存在的问题.对于基本初等函数。
1）四则运算
a）lim[x→x0] (a f(x) + b g(x)) = a f(x0) + b f(x0)
判断函数是否连续方法：求出某点左右极限，如果左极限等于右极限且等于函数在此处的函数值，则函数在此点连续，如果任意点在考察的范围内都满足这个条件，则该函数是连续的。函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因。
即f(x)和g(x)的线性组合在x0点处也连续。
b）lim[x→x0] (f(x)g(x0)) = f(x0)g(x0)
即f(x)g(x)在x0点处也连续。
c）lim[x→x0] (f(x)/g(x)) = f(x0)/g(x0) （g(x0)≠0）
即，如果g(x0)≠0，则f(x)/g(x)在x0点处也连续。
2）反函数
若函数f(x)在其定义域Df内严格单调且连续，则存在反函数f⁻¹(x)且同样连续。
3）复合函数
至此可以判断，一切初等函数在其定义域内连续。
五）函数的点连续和区间一致连续的关系
康托尔定理：
证明函数连续的条件：在开区间，左区间右连续，右区间左连续，在整个定义区间函数是连续的。函数连续：函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的。
若函数f(x)在闭区间[a，b]上（点）连续，则它在此闭区间上一致连续。
证略。
六）闭区间上连续（即一致连续）函数的一些性质（简单罗列）
一、若知该函数为初等函数,则说明它是初等函数,在其定义区间上均连续；二、若该函数为一元函数,则可对该函数求导,其导数在某点上有意义则函数则该点必然连续---可导必连续；三、实在不行,只好求极限,函数在该点极限等。
1）有界定理
2）最值定理
3）零点定理
4）介值定理
