小学数学中,学生学习的数的取值范围,主要是大于或等于0的数,对于负数只是略有接触,并不涉及到运算。
进入初中后,学生学习的数的范围有两次扩充。七年级上册第一章(有理数)的学习,是数的范围的第一次扩充。学习内容增加了负数,把学生学习的数的取值范围,16的平方根是±4吗,扩充到了有理数范围内。,
1、算术平方根和平方根的概念。
①算术平方根:若一个正数x²=a,则这个正数x叫a的算术平方根。另外,0的算术平方根是0
如3²=9,则3是9的算术平根,表示为√9=3
②平方根:若一个数x²=a,则这个数x叫a的平方根。
如(±3)²=9,则±3是9的平方根,表示为±√9=±3
注意:非负数才有算术平方根和平方根,即a≥0,像√-9则无意义。
2、算术平方根与平方根的区别与联系。
①区别:一是个数不同。除了0的算术平方根和平方根都是0外,正数的算术平方根只有一个,而正数的平方根有两个,且互为相反数。二是表示方法不同,非负数的算术平方根表示为√a,平方根表示为±√a。
②联系:算术平方根是平方根中的一个。
常见例题解析。
例1、求下列各数的算术平方根和平方根。
解:625的算术平方根是25,平方根是±25
(-3)²的算术平方根是3,平方根是±3
√16的算术平方根是2,平方根是±2
121/144的算术平方根是11/12。
平方根是±11/12
2、要确定求的是哪个具体数的平方根或算术平方根。如(-3)²=9,√16表示16的算术平方根等于4,让求的是4的算术平方根和平方根。
3、求带分数的平方根时,应把它化为假分数
例2、已知a-2的算术平方根是0,3a+b-1的算术平方根是5,求b-a²的算术平方根。
解:∵0的算术平方根是0
∴a-2=0,a=2
∵25的算术平方根是5
∴3a+b-1=25,又∵a=2
∴3×2+b-1=25,b=20
16的算数平方根是4,16的平方根是±4
∴b-a²=20-2²=16,16的算术平方根是4。
答:b-a²的算术平方根是4。
±4。√16等于±4。平方根,又叫二次方根,对于非负实数来说,是指某个自乘结果等于的实数,其中属于非负实数的平方根称算术平方根。一个正数有两个平方根。主要特点 1、一个正数如果有平方根,那么必定有两个,它们。
例3、已知一个正数x的两个平方根是2a-3。
5-a,求a和x的值。
解:∵一个正数的两个平方根互为相反数,而互为相反数的两个数的和为0。
∴2a-3+5-a=0解得a=-2
16的平方根是±4。方法是:求谁的平方根给谁加正负根号,被开方数里面有2个开出一个。平方根,又叫二次方根,对于非负实数来说,是指某个自乘结果等于的实数,表示为〔√ ̄〕,其中属于非负实数的平方根(square roo。
x=(-7)²=49
答:a值为-2,x值为49。
3、算术平方根的性质:√a≥0且a≥0(热门考点)
例1、已知√a+2+(b+5)²+丨c-1丨=0,那么a-b+c的值为____。
注意:非负数的和为0,则每个数都等于0。初中常见的三个非负数形式①算术平方根。②实数的偶次方。③绝对值。
解:∵√a+2≥0,(b+5)²≥0,丨c-1丨≥0
又∵√a+2+(b+5)²+丨c-1丨=0
∴√a+2=0,b+5=0,c-1=0
∴a=-2,b=-5,c=1
∴a-b+c=-2-(-5)+1=4
例2、已知a,b为有理数,且√a-5+2√5-a=b+4,求a,b的值。
分析:可根据被开方数应大于或等于0求解。
解:∵a-5≥0,5-a≥0
∴a=5
又∵√a-5+2√5-a=b+4。
∴b+4=0,b=-4
4平方根的性质:正数有两个平方根,且它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根。
例1、已知一个正数的两个平方根分别是x+3和x-1,求这个正数。
解:∵正数的两个平方根互为相反数,互为相反数的两个数和为0
∴x+3+x-1=0
∴x=-1。
∴x+3=-1+3=2
∴这个正数等于2²=4
例2、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m的值是____(易错题)
A、-3,B、-1,C、1,D、-3或1
分析:因为2m-4与3m-1是同一个数的平方根,它可能是两个数,则互为相反数;也可能是同一个数,则相等。
解:①(2m-4)+(3m-1)=0
解得m=1
16的平方根是:±4。平方根为数学术语,这个词也称为二次方根,平方根的定义为:如果一个非负数x的平方等于a,即x^2=a,且a大于0,那么这个非负数x就称为a的平方根。平方根用〔±√ ̄〕表示,其中,一个正数有两。
②2m-4=3m-1
解得m=-3
所以应选D
5、算术平方根小数点位置的移动规律:被开方数的小数点每移动两位,算术平方根的小数点向相同的方向移动一位。
例1、已知√23≈4.80,√230≈15.17。
则√0.0023的值约为____,√23000的值为____
分析:因为0.0023是23的小数点向左移动4位得到的,所以0.0023的算术平方根,应是23的算术平方根向左移两位。即√0.0023≈0.0480。