1990年，黄霑受邀为徐克的电影《笑傲江湖》谱曲，前前后后写了6稿徐克都不满意。“走投无路”的黄霑从古乐中得到灵感，用中国传统五声音阶宫、商、角、徵（zhǐ ）、羽写出《沧海一声笑》的基础旋律。
12怎么开根号，徐克一听拍案叫绝，一首经典“神曲”就此被传播开来。然而中国古音的历史与成就可不止“宫商角徵羽”这么简单，细算起来，就算是影响了整个西方古典音乐史的巴赫也曾深受中国传统音律的启发。
● 《笑傲江湖》经典片段
音律，是数学与艺术紧密结合的产物。不管是古代音律的五声音阶，还是现代通用的十二平均律，无一不是经过细致数学计算的产物。而中国在音律发展史上的步步领先，也体现了我们民族在数理上的过人之处。
中国古代音律的起源，要追溯到一位人尽皆知的历史人物——春秋时期的管仲。
● 被誉为“华夏第一相”的管仲
古籍《管子·地员篇》中记载了世界音乐史上最早的一种求律方法，史称“三分损益法”。原文是这样写的：
凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是黄钟小素之首，以在宫；三分而益之以一，以百有八，为徵；不无有三分而去其乘，适足以是生商；有三分而复于其所，以是成羽；有三分而去其乘，以是成角。
翻译过来的大意就是：想要求出五音，首先应该找出一个标准音，即“黄钟”，也就是“宫”音。这个音被“三分四开以合九九”，那可以假定其对应的弦长比数为81。
接着将宫音的长度增加三分之一，算出低四度的“徵”音，那么“徵”就是81+81/3=108；再将徵音的长度减去三分之一，可得出徵的高五度音“商”，为108/3*2=72；把商音的长度增加三分之一，可得它的低四度音“羽”，为72+72/3=96；最后把羽音减去三分之一，可得弦长比数为64的“角”音。
● 由三分损益法得出的五音
根号12=根号下4x3=2√3。有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√就为现实根号形式。立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号 的使用，比如
这种五声音阶法在中国古代音乐中被称为“正声”，是古今中国民间音乐最为常见的音阶形式。事实上，由此推算出来的“宫商角徵羽”对应现代音律就是“do、re、mi、sol、la”。
大家会发现“fa”跟“si”这两个现代音律不见了，但其实按照管仲的“三分损益法”，完全可以继续计算细分下去。加上“fa、si”的七声音阶甚至是十二律都可以用这个方法往下演算出来。
而主要的问题在于，这个公式算出来的五声音阶尽管悦耳动听，但是相邻音阶之间的频率之比却是不固定的。根据上面宫商角徵羽的数值比例计算，大部分音阶之比是1.125，而中间总会有一个比是1.185循环……
● 《吕氏春秋·音律》中记载的古音十二律
这种十二律会出现“仲吕极不生”、“黄钟不能还原”的现象，暴露出十二律不能回归本律及无法旋宫转调的问题。是的，早在上千年前，我们的古人就已经不满足于一个调子到底的音乐。
想要转调，就必须解决十二律不平均的数学难题。
● 巴赫肖像
事实上，西方音乐世界因为前期发展较慢，直到管仲去世近150年后才遇到这个难题。由古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯提出的音律“五度相生法”与管仲的“三分损益法”有着惊人的相似度。
而五度相生法创造出来的西方五声音阶，面临着与中国古代音律一样的“不平均”问题。在中国，先后有汉代京房六十律、五代刘燀十二等差律、宋代蔡元定三分损益十八律等等尝试出现，南北朝时期甚至出现过三百六十律这种“大数据”。
简单来讲，朱载堉就是将一个八度平分成了十二份来求这“十二平均律”。那么从第一份到第十二份，则必须是两倍（一个八度）的关系。假定第一个音律为X，那么它必须被某个固定数值乘12次之后变成最终的2X。
● 朱载堉著《乐律全书》
约等于3.4641016151378。根号的书写在印刷体和手写体是一模一样的，这里只介绍手写体的书写规范。1、写根号：先在格子中间画向右上角的短斜线，然后笔画不断画右下中斜线，同样笔画不断画右上长斜线再在格子接近上方的地方。
为此，朱载堉特制了一个多达81位的巨型算盘，靠人力硬生生把它给解出来了。解出来后，朱载堉不仅制作出了世界上第一架定音乐器，还将自己的研究成果呈进朝廷。
● 朱载堉令人头秃的计算结果
55年后，法国的数学家马林·默森（Marin Mersenne）也在自己的著作中写出了与朱载堉一模一样的等程律数学表达式。作曲家巴赫一生极推崇平均律的作曲运用，直接影响了后世无数音乐家。
经由一代代数学家与音乐家的接力配合，才有现代各式各样音律模式开花齐放的局面。而十二平均律始终占据主流的突出地位，更体现了人类对于韵律艺术与平衡规律这种玄妙结合的偏爱之情。
至于数理与音律这两对让人难以捉摸的双生子，我们还远未穷尽对它们的探索。
约等于3.4641016151378 计算步骤：√12=根号(4×3)=根号(2²×3)=
Bilibili视频网：李永乐老师讲音律
山东师范大学 《论管子 三分损益法》文/罗天全
协商论坛 《朱载堉：“布衣王子”的科研、音律路》文/ 赵慎珠
福建师范大学文学院 《河图洛书：朱载堉十二平均律的理论原点》文/黄黎星
