2018年高考数学北京卷的题目(理科第4、文科第5)的背景是我国明代学者朱载堉对十二平均律的重要贡献。这道题目的选取体现了出题者向考生传达我国古代科技成就，引导学生体会中国古代先贤在人类文明中的贡献，有利于增强文化自信，增强民族自豪感。其背景律学是音乐、数学和物理学相结合的产物，渗透了数学史和数学文化。数学应用于音乐艺术上，让学生感悟数学的美感。
这道高中数学中的等比数列问题原来还有如此深刻的应用，可能并不为大众所知，那么我们就来看看朱载堉是谁，十二平均律是巴赫还是朱载堉，数学与音乐结合的十二平均律又是怎么一回事。，
爱科技不爱王位
朱载堉(1536-1611)是明朝开国皇帝朱元璋九世孙，正宗的皇家子弟。明仁宗长子朱瞻基继承皇位，是为宣宗。朱瞻基的弟弟朱瞻埈被封“郑王”。“郑”是封地，又称藩国，郑王藩国的王府就在今天的河南沁阳。郑王传至朱载堉的父亲朱厚烷，10岁的朱载堉被册封为“世子”。朱载堉本来可以当个欢乐的王二代，享乐一生，然后继承王位，但他却脱离了低级趣味，选择了不同的人生。
朱载堉少年时，父亲因为看不下去当时嘉靖帝沉迷道教，大兴土木修建道场甚至不理朝政，就上疏谏言。还有一个原因就是在朱载堉家族中，出现了争夺王位的内讧，朱厚烷被诬告叛国。总之，皇帝很生气，后果很严重。朱载堉15岁时，朱厚烷被削爵囚禁。朱载堉自然也受到了牵连，但这位正义的少年决定用行动抗议。在王宫的外面，多出了一间土屋，朱载堉住了进去，他发誓父亲一日不归，自己也不回宫。结果这一住就是18年，嘉靖帝死后朱厚烷才得以平反回宫。虽然这段时期生活艰苦，朱载堉却沉浸在学习的海洋里。朱厚烷回来后拉上自己的儿子一起学习律学，研究音乐中的数学问题。
十二平均律是朱载堉发明的。朱载堉（1536年—1611年），男，字伯勤，号句曲山人、九峰山人，青年时自号“狂生”、“山阳酒狂仙客”，又称“端清世子”，河南省怀庆府河内县（今河南沁阳）人，明代著名的律学家（有。
河南沁阳市朱载堉纪念馆的“巨无霸”唢呐
朱载堉少年时代的阅历，使他终身远离名利场，潜心科学艺术事业。更夸张的是，朱厚烷过世后，朱载堉主动让出继承权。起初，皇帝自然不同意。朱载堉历经15年7次上疏，才最终将爵位让出。后人赞颂朱载堉为“真天潢中异人也”。
在文艺方面，朱载堉也成就颇丰。他为与音乐相配的“舞学”奠定了理论基础，为“舞学”提出了一系列颇为先进的教育观念，可以说今天的乐器伴唱、识谱学唱等都还有当时的影子。朱载堉留下了大量的舞蹈图谱，他设计的 《天下太平舞》，可谓开创了团体操的先河。这位音乐王子作词脍炙人口，在文学性上有强烈的批判现实主义色彩。朱载堉一生笃学不怠，潜心著书，著述超过百万字。他晚年“一人吹律，一人弹琴，一人击缶而歌。余亦自歌，互相倡和，而乐在其中矣。”
十二平均律发明者朱载堉。十二平均律，亦称“十二等程律”,世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等。十二平均律是指将八度的音程（一倍频程）按频率等比例地分成十二。
八十一档双排大算盘
十二平均律——12是怎么来的?
朱载堉最重要的贡献就是他第一个解决了律学中的“返宫”难题，发明了十二平均律(也称十二等程律)，他自己称之为“新法密率”。学过钢琴的同学都知道，钢琴一个八度是七个白键和五个黑键，这十二个音就体现了十二平均律。简单说，就是把两个do之间平均分了十二份，每份就是一个半音，这些音可不是凭空哼出来的，而是真的用算盘计算出来的，每个音的频率为前一个音的2开12次方，即1.295倍。
在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，Pere Marin Mersenne在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论。 德国作曲家巴赫于1722年发表的《谐和音律曲集》（另或译为《十二平均律曲集》英文：《The 48》），有可能就。
人类对于声音的探索已经有数千年历史了。音乐是世界的语言，我们发展出了各式各样的音乐形式。为什么要把一个八度分成12份?这要从人类的听觉开始谈起。人类能听到的声音频率大概在20Hz到20000Hz之间，但我们大脑接收到声波后，不会认为按等差数列排布的声音(如200Hz、300Hz、400Hz)是等间距的，而是按等比数列的形式(如100Hz、200Hz、400Hz)，两个八度之间的距离在频率上就是两倍关系，比如高音do的频率是do频率的2倍。
虽然古人还不能从物理原理上阐释声音的产生和传播规律，但很早人们就知道弦振动的频率和其长度成反比。如果用手按住一根弦的中间，就成为了2根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音，它的频率和主音F频率相比是2:1，恰好是一个八度。那如果在其他位置呢?在数学上3:1、4:1都是简单的比例，它们能得出两个重要的频率，前者是主音的3/2倍，它们的音程关系在乐理上被称为纯五度。后者是主音的4/3倍，被称为纯四度。
不同音程间的和谐程度不同，越是这样简单的比例听起来越和谐。我们可以在一根弦上不断地寻找最和谐的音，在听觉上除了两个八度，最和谐的就是纯五度和纯四度，那么就可以继续把它们的频率减半找到相应的最和谐音，3/2F自身的3/2倍，成为了9/4F，相当于超出了两个八度，但我们可以在两个八度内找到与它等价的音，就是它的1/2，成为了9/8F。
那么可以继续找到3/2的3次方、4次方，无限找下去吗?古人也没有这么傻，经过一番尝试后，人们发现找到12个音就能大致让最和谐的音循环起来。事实上，只要计算5次，就能得到五度相生律，这就是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的方法，再加上主音和4/3主音，就是我们今天用的do到si七个音。
但是，无论是五度相生还是三分损益，都不能实现“黄钟还原”，也就是我们刚才提到的返宫问题，对应于西方的不能“闭合成圈”(closed cycle)。三分损益进行12次后，所得到的音和最初的音不成八度关系，无法周而复始地旋宫转调，而且三分损益法本身计算精度就不足，加之当时乐器制造是凭经验而非数学和物理学原理，所以找到真正的十二平均律成了一大难题。
朱载堉充分汲取了前人的经验，他了解到八度的弦长比为2:1，把八度以等比的形式平均分成12份，则需构成一个等比数列。但当时还没有等比数列的求解方法，他看到《周礼》中记载的勾股定理得到启发，将黄钟定为1，一个八度内音程为2，即构成了一个首项为1，末项为2，共13项的等比数列，比例系数就是 。那么如何找到这个比例系数呢?用今天的方法来看，他只需将2开方得到中间项(蕤宾)，再继续开平方得到半列的中间项(南吕)，继续开立方则得到应钟，也就是 。
十二平均律是朱载堉发明的。十二平均律又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相等。十二平均律是指八度的音程按波长比例平均分成十二等份，每一等份称。
值得一提的是，朱载堉在十二平均律的研究中，使用算盘进行开方运算精度达小数点后24位!他自己设计了81档的特大算盘，最终解决了十二平均律这个千年难题，不仅在数学史上，也在音乐理论史上具有划时代意义。
《 混元三教九流图赞》碑拓片(局部)
十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的。他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论。律是指音阶中每个音的音高规律。至少在西周初期，我国就在一个音阶中确定十二个律了。十二平均律也叫十二等程律，它。
混元三
命途多舛的十二平均律
朱载堉创建十二平均律后说：“此盖二千余年之所未有，自我圣朝始也，学者宜尽心焉。”
朱载堉的《乐律全书》
在西方，一般认为法国数学家梅森(Marin Mersenne)首先给出十二律精准数值，发表于1636年的著作中。在他之前有荷兰数学家斯台文(Simon Stevin)提出用等比数列的思想解决“闭圆”问题(1596年)，但他有计算错误，而且他的成就在三百年后才被发现。不过，同时代意大利传教士利玛窦已经记录了朱载堉关于新法密率的内容，但是否当时就流传到西方学者中还需要更多的史料考证。朱载堉的理论在西方却产生了深远影响。德国物理学家亥姆霍兹(Hermann von Helmholtz)说到：“在中国人中，据说有一个王子叫载堉的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”
不过这里还应澄清，把朱载堉誉为“钢琴理论的鼻祖”就言过其实了，虽然乐理上有共通之处，但民族和文化发展都有各自特色，就像没有十二平均律之前，我们依然也有优美的音乐一样。
因为历史的原因，朱载堉没能与李时珍、宋应星、徐光启和徐霞客等明代科学家一样进入中小学教科书中，对于他的科技成就也是我国上世纪80年代后才逐渐挖掘出来的。我国著名物理学家严济慈先生这样评价朱载堉：“九峰隐名宦七疏让国高风仰九州，丹水扬翰墨十二等律历算闻四海。”科学家的冷静头脑与艺术家的入世激情，在朱载堉的身上得到了完美的统一。历史是公正的，世上少了一位王爷，史上却多了一位科学和文化巨匠。
今天，我们发现朱载堉与十二平均律已进入高考题中，不仅能让全国的青少年了解我国还有这样一位伟大的科学家，似乎还可以传达出这样一个信号，那就是提醒家长和考生不能死啃书本，应该少上一些辅导班，多逛一逛博物馆(科技馆)。
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