彩票怎样才能中奖？理论上，只能靠运气。但是，如果规则设计得不好，就可以钻漏洞。
2005年2月，美国的一个彩票品种，就出现了漏洞，被麻省理工学院的学生发现了。随后的七年，这个学生反复购买这个品种，一共赚到了300万美元（约合人民币2115万）。
本文介绍他怎么做的，以及其中的数学原理。
期望值
彩票最重要的数学概念，叫做“期望值”（expected value），即同一种行为多次重复以后，所能得到的平均收益。
举例来说，如果每次抽奖需要2元，假设200次抽奖可以中奖一次，奖金为300元。那么，你花了2000元，一共抽奖1000次，中奖了5次，奖金为1500元。
也就是说，1000次抽奖的总收益是1500元，每次的平均收益是1.5元，这就是期望值。
期望值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5
期望值是1.5元，但是每次抽奖成本2元，于是净亏损0.5元。
一看就知道，这个事情是不划算的，做得越多，一组数据的期望值怎么计算，越不划算。偶尔买一次彩票，倒也算了；如果你一天到晚不断买彩票，就肯定会亏很多钱（上例是每200次亏100元）。
总之，期望值是衡量彩票收益的一个关键指标。
马萨诸塞州的 WinFall 彩票
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。期望值计算：例子 某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1。
美国马萨诸塞州有一个彩票品种，叫做 WinFall。它的规则很简单：1到48里面，你猜6个数字，猜中就有奖。
四等奖（6个猜中2个）：奖金2元；
三等奖（6个猜中3个）：奖金5元；
二等奖（6个猜中4个）：奖金150元；
一等奖（6个猜中5个）：奖金4000元；
1、先求A,B两种产品成功的概率：P(A)=40/50=0.8，P(B)=35/50=0.7。2、投资生产A产品的期望为E(A)=0.8*100+0.2*（-80）=64；投资生产B产品的期望为E(B)=0.7*80+0.3*(-50)=41。E(A)>E(B)。
特等奖（6个猜中6个）：奖金池剩余的全部奖金。
有一期，一共卖出了930万张彩票，其中特等奖一个，奖金100万美元，一等奖238个，二等奖11625个，三等奖19.8万个，四等奖136.8万个。
计算可知，这种彩票的期望值是0.798元。
期望值=100万 * ( 1 / 930万)+4000 * ( 238 / 930万) +150 * (11625 / 930万) +5 * (19.8万 / 930万)+2 * (136.8万 / 930万 )= 0.798。
每张彩票的价格是2元，可是平均收益只有0.798元，连一半都不到，可见这种彩票是非常不划算的。因此没有吸引力，购买这种彩票的民众不断减少。
州政府很着急，因为政府从彩票抽成20%（每张0.4元）。如果销售量减少，政府的收益也会减少。于是，政府为了增加这种彩票的吸引力，决定修改彩票规则。
新规则
新的规则是，如果当期没有特等奖（没人猜中６个数字），那么奖金会分配给一等奖、二等奖、三等奖的得主，各奖项新的中奖金额如下。
一等奖（6中5）：50000元；
二等奖（6中4）：2385元；
三等奖（6中3）：60元。
还是使用前面的中奖率，计算期望值。
期望值 =50000 * ( 238 / 930万) +2385 * (11625 / 930万) +60 * (19.8万 / 930万) = 5.53
数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。期望值是基础概率学的升级版，是所有管理决策的过程中，尤其是在金融领域是最实用的统计工具。某个事件（最初。
每张彩票的价格还是2元，但是期望值变成了5.53元。购买这种彩票就变得非常划算，大量购买的话，可以得到2.5倍的收益。之所以期望值大于彩票的成本，是因为奖金池还包含前期剩余的奖金。
麻省理工学院的一个学生，发现了这一点。他凑了5000元购买彩票，结果中了将近15000元！
如何选择号码？
毕竟你不能购买所有彩票，因为彩票的收益来自没中奖的那些人。你只能购买一部分彩票，设法使得自己购买的号码有最大的中奖可能。
为了简化思考，让我们考虑一种简单的情况。1到7里面猜三个数字，奖金如下。
猜中3个：奖金6元；
猜中2个：奖金2元；
猜中1个：无奖金。
你可以同时选择七种组合（即购买七张彩票），请问应该如何选择号码？
组合数公式
组合数公式是指从 m 个不同元素中，取出 n（n ≤ m）个元素的所有组合的个数，用符号 c(m，n) 表示。
它的计算公式如下：c(m，n) = m! / n! * (m - n)!
上面公式中，感叹号表示阶乘，比如4!等于4 * 3 * 2 * 1。
按照上面的定义，七个数字里面的三个号码的组合，共有c(7，3)个。
c(7，3) = 7! / 3! * (7 - 3)! = 35
这就是说，三个数字的组合共有 35 种。我们可以把它们全部列出来。
234 235 236 237
245 246 247
256 257
345 346 347
356 357
456 457
上面是所有35种可能的组合，你必须从中选出7种。请问应该选择哪七种？
最佳组合
答案是下面这七种组合：123 145 167 247 256 346 357。
期望值的计算公式：销售额的期望值=Σ（各情况下的销售额×各情况发生的概率），在概率论和统计学中，期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望，物理学中称为期待值）是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率。
仔细观察这七张彩票，你会发现它们是精心选择的：每个数字都正好出现三次。这导致你要么中一个大奖，要么中三个小奖。
几何选择法
这七张彩票是怎么选出的呢？
更严谨的证明是这样的：1到7这七个数字，共有21种两个数字的组合（C(7，2)），这意味着只要把这21种组合都买全了，就可以保证中三个小奖。因为三个中奖号码里面，共有三种两个数字的组合（比如中奖号码是367，那么36、37、67都可以中小奖）。另一方面，由于每张彩票包含三个号码，即包含三种两个数字的组合，那么最少只要买7张彩票就能覆盖全部21种组合。
实际的策略
回到前面的问题，马萨诸塞州的彩票应该怎么买？
3、期望值 μ=3，标准差 σ=2，P{|X|＞2}:=NORMDIST(-2,3,2,1)+(1-NORMDIST(2,3,2,1))，P{X＞3}:=1-NORMDIST(3,3,
6个号码只要猜中4个，就可以中二等奖，只要把所有四个号码的组合都买了，就可以确保中15个二等奖（6个中奖号码共有15个四个号码的组合C(6，4)）。
48个号码里面共有194580种四个号码的组合（C(48，4)），既然一张彩票包含15种组合，那么最少购买12972张彩票就够了（194580 / 15 = 12972），就可以包含所有四个号码的组合。如果有兴趣的话，你可以写一个程序，算出包含这194580种组合的所有彩票。
购买12972张彩票，需要25944元（12972* 2）。根据前面的奖金额，二等奖的奖金是2385元，那么15个二等奖就是35775元（2385 * 15）。因此，投入25944元，可以无风险地获得35775元。当然，这样做的前提是，当期没人猜中特等奖，否则奖金就会被大大稀释。
