1.掌握等腰三角形的判定定理并学会运用;(重点)
2.理解并掌握反证法的思想,能够运用反证法进行证明.
一、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树(A点)为目标,然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志,沿南偏东60度方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30度,这时,地质专家测得BC的长度是50米,就可知河流宽度是50米.
同学们,你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗?他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢?今天我们就要学习等腰三角形的判定.
等腰三角形的角是多少度 三角形三内角和等于180°,它的每个角都为60°。等腰三角形的两个底角度数相等,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;三角形两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。判定。
探究点一:等腰三角形的判定(等角对等边)
【类型一】 确定等腰三角形的个数
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
解析:共有5个.(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD.∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;(3)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°.又∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形.故选A.
方法总结:确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角,然后确定等腰三角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数.
【类型二】 判定一个三角形是等腰三角形
如图,在△ABC中,等腰三角形各角度数,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:△CEF是等腰三角形.
解析:根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE=∠ACD,然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边求得CE=CF,从而求得△CEF是等腰三角形.
解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠AEC,∠ACD+∠EAC=∠CFE,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.
方法总结:“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.
【类型三】 等腰三角形性质和判定的综合运用
如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数.
解析:(1)根据等边对等角可得∠B=∠C,利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可;(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF,然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF.
探究点二:反证法
【类型一】 假设
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中()
A.有一个内角大于60°
B.有一个内角小于60°
C.每一个内角都大于60°
D.每一个内角都小于60°
等腰三角形如果有一个角是60度,则另2个角都是60度。如果一个角是九十度,则另外两个角都是四十五度。等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。2.等腰三角形的顶角平分线,底边上。
解析:用反证法证明命题时,应先假设结论不成立,所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°,即都大于60°.故选C.
等腰直角三角形的三个角的度数分别是:90度、45度、
方法总结:在假设结论不成立时,要注意考虑结论的反面所有可能的情况,必须把它全部否定.
【类型二】 用反证法证明一个命题
求证:△ABC中不能有两个钝角.
解析:用反证法证明,假设△ABC中能有两个钝角,得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾,所以原命题正确.
证明:假设△ABC中能有两个钝角,即∠A<90°,∠B>90°,∠C>90°。
方法总结:本题结合三角形内角和定理考查反证法,解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况.如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
三、板书设计
1.等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
2.反证法
(1)假设结论不成立;
(2)从假设出发推出矛盾;
(3)假设不成立,则结论成立.
解决几何证明题时,应结合图形,联想我们已学过的定义、公理、定理等知识,寻找结论成立所需要的条件.要特别注意的是,不要遗漏题目中的已知条件.解题时学会分析,可以采用执果索因(从结论出发,探寻结论成立所需的条件)的方法.
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